按摩师证的颁发单位是国家卫生健康委员会，根据《中华人民共和国职业医师法》和《中华人民共和国护士法》的规定，从事按摩工作的人员必须取得相应的职业资格证书，而国家卫生健康委员会作为国务院直属事业单位，负责全国卫生和健康工作，包括职业资格证书的颁发和管理。

在申请按摩师证之前，申请人需要满足一定的条件，如年龄、学历、身体条件等，还需要参加相关的考试和培训，并通过考核才能获得证书，一旦获得证书，从业人员就可以在规定的范围内从事按摩工作，并且可以享受一定的优惠政策。

除了国家卫生健康委员会外，还有一些地方性的卫生行政部门也负责颁发按摩师证，北京市卫生健康委员会、上海市卫生健康委员会等，这些地方性的卫生行政部门在颁发证书时，会遵循国家卫生健康委员会的相关规定和要求。

无论是国家卫生健康委员会还是地方性的卫生行政部门，都是颁发按摩师证的重要单位，只有具备相应的条件和资格的人员才能获得证书，从而合法地从事按摩工作。