一是国家职业技能鉴定机构，二是各省、市、自治区人力资源和社会保障部门，国家职业技能鉴定机构是国家级的权威机构，负责全国范围内的职业技能鉴定工作；而各省、市、自治区人力资源和社会保障部门则是地方级的管理机构，负责本行政区域内的职业技能鉴定工作。

国家职业技能鉴定机构主要包括国家人力资源和社会保障部职业技能鉴定中心、中国就业培训技术指导中心等，这些机构负责组织和实施全国性的职业技能鉴定工作，包括按摩师证的颁发，还有一些地方性的职业技能鉴定机构，如各省、市、自治区人力资源和社会保障厅(局)职业技能鉴定中心等，也负责本行政区域内的按摩师证颁发工作。

在具体的按摩师证颁发过程中，首先需要申请人向所在省、市、自治区人力资源和社会保障部门提出申请，填写《职业技能鉴定申请表》，并提交相关材料，然后由所在省、市、自治区人力资源和社会保障部门组织专家对申请人进行面试和技能考核，评估其是否具备从事按摩工作的能力和水平，如果申请人通过考核，那么就可以获得按摩师证的颁发资格，由所在省、市、自治区人力资源和社会保障部门将按摩师证发放给申请人。

需要注意的是，不同的按摩师证颁发单位可能存在一定的差异，国家职业技能鉴定机构颁发的按摩师证通常具有更高的权威性和认可度；而地方性的职业技能鉴定机构颁发的按摩师证则可能在一定程度上受到地域限制，在选择按摩师证颁发单位时，建议申请人根据自己的实际情况和需求进行综合考虑。