家庭教育指导师证的发放部门可能因地区和国家的不同而有所差异，家庭教育指导师证通常由以下几个部门发放：

1、人力资源和社会保障部：人力资源和社会保障部是负责制定和实施家庭教育指导师职业资格制度的部门，家庭教育指导师证的发放需要经过人力资源和社会保障部的审核和批准。

2、教育部：教育部是负责全国教育工作的部门，其中包括家庭教育的指导和管理，家庭教育指导师证的发放需要经过教育部的审核和批准。

3、国家卫生健康委员会：国家卫生健康委员会是负责全国卫生和健康工作的部门，其中包括家庭教育的指导和管理，家庭教育指导师证的发放需要经过国家卫生健康委员会的审核和批准。

4、各省、自治区、直辖市人力资源和社会保障厅(局):各省、自治区、直辖市人力资源和社会保障厅(局)是负责本行政区域内家庭教育指导师证发放的具体部门，家庭教育指导师证的发放需要经过所在省、自治区、直辖市人力资源和社会保障厅(局)的审核和批准。

5、各市、县(区)人力资源和社会保障局：各市、县(区)人力资源和社会保障局是负责本行政区域内家庭教育指导师证发放的具体部门，家庭教育指导师证的发放需要经过所在市、县(区)人力资源和社会保障局的审核和批准。

家庭教育指导师证的发放涉及多个部门，需要经过严格的审核和批准程序，考生在申请家庭教育指导师证时，需要了解所在地区的相关部门和具体流程，按照规定提交相关材料，通过审核后方可获得家庭教育指导师证，考生还需要不断提高自己的专业素养和实践能力，以更好地为家庭提供有效的教育指导服务。